מרחקים ממישור – נקודה, מישור מקביל וישר מקבילוקטורים 572 · שיעור 36
וקטורים · שאלון 572
מרחקים ממישור – נקודה, מישור מקביל וישר מקביל
פרק 9 – זוויות ומרחקים במרחב
1נוסח השאלה
2סעיף א – מרחק נקודה ממישור
3סעיף ב – מרחק בין מישורים מקבילים
4סעיף ג – מרחק בין ישר ומישור מקבילים
5סעיף ד – נקודות במרחק נתון
📄 נוסח השאלה
נתון המישור π: 2x − y + 2z − 5 = 0.
א. מצאו את המרחק של הנקודה P(3 , 1 , 4) מהמישור.
ב. הראו שהמישור π2: 4x − 2y + 4z + 8 = 0 מקביל ל־π, ומצאו את המרחק בין שני המישורים.
ג. הראו שהישר ℓ: x = (1 , 1 , 1) + t(1 , 2 , 0) מקביל למישור π, ומצאו את המרחק בין הישר למישור.
ד. מצאו את הנקודות על ציר z שהמרחק שלהן מהמישור π הוא 3.
סעיף א – מרחק נקודה ממישור
מרחק = |a · x1 + b · y1 + c · z1 + d|√a2 + b2 + c2
📐 מרחק נקודה ממישור
נציב a = 2 , b = −1 , c = 2 , d = −5 , P(3 , 1 , 4):
מרחק = |2 · 3 − 1 + 2 · 4 − 5|√22 + (−1)2 + 22
מרחק = |6 − 1 + 8 − 5|√9 = 83 ≈ 2.67
✅ פתרון סופי: המרחק 83 ≈ 2.67
📐 מרחק נקודה ממישור
מרחק = |a · x1 + b · y1 + c · z1 + d|√a2 + b2 + c2
סעיף ב – מרחק בין מישורים מקבילים
n2 = (4 , −2 , 4) = 2 · (2 , −1 , 2)
📐 מצב הדדי בין שני מישורים
הנורמלים קולינאריים – המישורים מקבילים (או מתלכדים). נחלק את משוואת π2 ב־2, כדי לקבל אותם מקדמים:
2x − y + 2z + 4 = 0
המספר החופשי 4 ולא −5 – המישורים מקבילים ולא מתלכדים.
מרחק = |d1 − d2|√a2 + b2 + c2
📐 מרחק בין מישורים מקבילים
נציב d1 = −5 , d2 = 4 , a = 2 , b = −1 , c = 2:
📐 מצב הדדי בין שני מישורים
נורמלים קולינאריים: מקבילים או מתלכדים
לא קולינאריים: נחתכים בישר
לא קולינאריים: נחתכים בישר
📐 מרחק בין מישורים מקבילים
מרחק = |d1 − d2|√a2 + b2 + c2
אותם מקדמים a , b , c בשתי המשוואות
אותם מקדמים a , b , c בשתי המשוואות
סעיף ב – מרחק בין מישורים מקבילים · המשך
נציב d1 = −5 , d2 = 4 , a = 2 , b = −1 , c = 2:
מרחק = |−5 − 4|√22 + (−1)2 + 22 = 93 = 3
✅ פתרון סופי: המישורים מקבילים, המרחק 3
סעיף ג – מרחק בין ישר ומישור מקבילים
n · u = (2 , −1 , 2) · (1 , 2 , 0) = 2 − 2 + 0 = 0
📐 מצב הדדי בין ישר ומישור
הישר מקביל למישור או מוכל בו. נציב את הנקודה (1 , 1 , 1) של הישר במשוואת המישור:
2x − y + 2z − 5
📐 נקודה על מישור
נציב x = 1 , y = 1 , z = 1:
2 · 1 − 1 + 2 · 1 − 5 = −2
התוצאה לא 0 – הישר מקביל למישור (לא מוכל). כל נקודות הישר באותו מרחק מהמישור, לכן מחשבים את המרחק של (1 , 1 , 1):
📐 מצב הדדי בין ישר ומישור
n · u ≠ 0 – נחתכים
n · u = 0 – מקביל או מוכל
n · u = 0 – מקביל או מוכל
📐 נקודה על מישור
שיעורי הנקודה מקיימים את משוואת המישור
סעיף ג – מרחק בין ישר ומישור מקבילים · המשך
התוצאה לא 0 – הישר מקביל למישור (לא מוכל). כל נקודות הישר באותו מרחק מהמישור, לכן מחשבים את המרחק של (1 , 1 , 1):
מרחק = |a · x1 + b · y1 + c · z1 + d|√a2 + b2 + c2
📐 מרחק נקודה ממישור
נציב x1 = 1 , y1 = 1 , z1 = 1:
מרחק = |2 · 1 − 1 + 2 · 1 − 5|3 = 23 ≈ 0.67
✅ פתרון סופי: המרחק 23 ≈ 0.67
📐 מרחק נקודה ממישור
מרחק = |a · x1 + b · y1 + c · z1 + d|√a2 + b2 + c2
סעיף ד – נקודות במרחק נתון
נקודה על ציר z היא מהצורה (0 , 0 , z).
מרחק = |a · x1 + b · y1 + c · z1 + d|√a2 + b2 + c2
📐 מרחק נקודה ממישור
נציב x1 = 0 , y1 = 0 , z1 = z , מרחק = 3:
3 = |2 · 0 − 0 + 2z − 5|3
|2z − 5| = 9
2z − 5 = 9
📐 מרחק נקודה ממישור
מרחק = |a · x1 + b · y1 + c · z1 + d|√a2 + b2 + c2
סעיף ד – נקודות במרחק נתון · המשך
2z − 5 = 9
z = 7
2z − 5 = −9
z = −2
✅ פתרון סופי: (0 , 0 , 7) , (0 , 0 , −2)
📌 סיכום התשובות
סעיף א
83 ≈ 2.67
סעיף ב
מקבילים, מרחק 3
סעיף ג
מקביל, מרחק 23 ≈ 0.67
סעיף ד
(0 , 0 , 7) , (0 , 0 , −2)
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא